Pascal's triangle、巴斯卡三角形、楊輝三角形 解法

參考來源: 楊輝三角形 wiki
楊輝三角形，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形、海亞姆三角形，是二項式係數在的一種寫法，形似三角形，在中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算術》得名，書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算術》，故又名賈憲三角形。

由圖我們可很明顯的找出規律性:
一、每列都比前列多一個數
二、每數都是前列的二數和
三、頭、尾項都為1
四、由網路資料可得知這樣的規律性剛好是 (a+b)ⁿ
       二元一次表達式的展開系數表

(a+b)0 =	1	1
(a+b)1 =	a+b	1    1
(a+b)2 =	a2+2ab+b2	1    2   1
(a+b)3 =	a3+3a2b+3ab2+b3	1    3   3   1
(a+b)4 =	a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4	1    4   6   4   1
(a+b)5 =	a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5	1    5   10   10   5   1
(a+b)6 =	a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6	1    6   15   20   15   6   1

再參考了這篇資料:  巴斯卡三角形的幾個性質
看完後，只能說搞數學的不簡單能找出這麼多東西出來，也提供了公式，
但公式的東西實在很難看懂，有時覺得很簡單的原理，看了論文的公式，
反而覺得好複雜。

但瞭解越多資訊，越有助解題。
下列代碼，利用了第c[0]項跟最後一項c[-1]都為1，第c[1]項開始剛好等於前列r-1的c[n]+c[n-1]的和
# python

def pascalTriangle(n):
    if n <= 0:
        return 
    else:
        row = [1]
        for i in range(10):
            print row 
            p = row[:]                     # p 代表前一列
            for j in range(1, len(row)):        
                row[j] = p[j] + p[j-1]
            row.append(1)

if __name__ == "__main__":
    pascalTriangle(10)

列印結果如下: 

========================

[1]
[1, 1]
[1, 2, 1]
[1, 3, 3, 1]
[1, 4, 6, 4, 1]
[1, 5, 10, 10, 5, 1]
[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1]
[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1]
[1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1]
[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]

沒處理空白問題，這樣代碼較方便理解 

另外從網路看另一種利用zip的解法

def pascal(n):
   """Prints out n rows of Pascal's triangle.
   It returns False for failure and True for success."""
   row = [1]
   k = [0]
   for x in range(max(n,0)):
      print row
      row=[l+r for l,r in zip(row+k,k+row)]
   return n>=1

 第二列開始
row = [1, 1]
zip(row+[0], [0]+row) -> [(1, 0), (1, 1), (0, 1)]
[(1, 0), (1, 1), (0, 1)] 每項tuple再相加 -> [1, 2, 1]

第三列開始 row = [1, 2, 1]
zip(row+[0], [0]+row) -> [(1, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 1)]
[(1, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 1)] 一樣相加 -> [1, 3, 3, 1]

最後為練習kotlin 我再將代碼，轉換為kotlin的寫法

// kotlin code

fun pascalTriangle(n: Int) {
    var row = listOf(1)
    var k = listOf(0)
    if (n <= 0) {
        return 
    }
    for (i in 1..n) {
        row.forEach {print("${it.toString().format(5)} ")}
        println()
        row = (row+k).zip(k+row) map {it -> it.first + it.second}
    }
}

fun main(args: Array<String>) {
    pascalTriangle(10)
}